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如何用乘法原理解奥数题呢

来源:互联网 2011-07-28 17:58:53

[标签:小升初]

  如果完成一件事必须分n个步骤,而每一个步骤分别有m1,m2,…,mn种方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法。这就是乘法原理,它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别,也要注意二者的联合使用。例7 一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。求:

  (1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少不同的安排节目的顺序?

  (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,一共有多少不同的安排节目的顺序?
  解:(1)先将4个舞蹈节目看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有 7!

  =7×6×5×4×3×2×1=5404(种)方法。

  第二步再排4个舞蹈节目,有4!=4×3×2×1=24(种)方法。
 
  根据乘法原理,一共有 5040×24=120960(种)方法。

  (2)首先将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),一共有6!=6×5×4×3×2 ×1=720(种)方法。

  ×□×□×□×□×□×□×

  第二步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间(即上图中“×”的位置),这相当于从7个“×”中选4个来排,一共有7×6×5×4=840(种)方法。

  根据乘法原理,一共有720×840=604800(种)方法。

  例8有8个队参加比赛,如果采用下面的淘汰制,那么在赛前抽签时,实际上可以得到多少种不同的安排表?
 
  解:8个队要经过3轮比赛才能确定冠亚军。将第1轮的4组,自左至右记为1,2,3,4组,其中第1,2组为甲区,3,4组为乙区。8个队抽签即是在上图的8个位置排列,共有 8!

  =8×7×6×5×4×3×2×1=40320(种)

  不同的方法。

  但是,两种不同的排列不一定是实际上不同比赛的安排表。事实上,8队中的某4队都分在甲区或乙区,实际上是一样的;同区的4队中某2队在某一组或另一组,实际上也是一样的;同组中的2队,编号谁是奇数谁是偶数实际也是一样的。

  由乘法原理知,在40320种排法中,与某一种排法实质上相同的排法有 2×22×24=27=128(种),故按实际不同比赛安排表的种数是 128。

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