如何用对应法解奥数题呢
来源:互联网 2011-07-28 18:02:48
小孩子数苹果,往往掰着手指头,一个一个地掰,掰完左手掰右手,这种数苹果的方法就是对应法。小孩子把苹果与自己的手指头一对一,他掰了几个指头,也就数出了几个苹果。一般地,如果两类对象彼此有一对一的关系,那么我们可以通过对一类较易计数的对象计数,而得出具有相同数目的另一类难于计数的对象的个数。
例9 在8×8的方格棋盘中,取出一个由 3个小方格组成的“L”形(如图1),一共有多少种不同的方法?
解:每一种取法,有一个点与之对应,这就是图1中的A点,它是棋盘上横线与竖线的交点,且不在棋盘边上。
从图2可以看出,棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法(“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上)。
由于在 8×8的棋盘上,内部有7×7=49(个)交叉点,故不同的取法共有
49×4=196(种)。
例10 数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和,如3,1+2,2+1,1+1+1。问:1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种?
分析与解:我们将1999个1写成一行,它们之间留有1998个空隙,在这些空隙处,或者什么都不填,或者填上“+”号。例如对于数3,上述4种和的表达方法对应:
111,11+1,1+11,1+1+1。
显然,将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间一对一,而每一个空隙处都有填“+”号和不填“+”号2种可能,因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有 138。