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如何用容斥原理解奥数题呢

来源:互联网 2011-07-28 18:05:17

[标签:小升初]

  在应用加法原理时,关键在于把所要计数的对象分为若干个不重不漏的类,使得每类便于计数。但是具体问题往往是复杂的,常常扭成一团,难以分为不重不漏的类,而要把条理分清楚就得用加法原理的推广——容斥原理。

  为了表达方便,我们用A表示A类元素的个数,用B表示B类元素的个数,用 A∪B表示是 A类或是 B类元素的个数,用A∩B表示既是A类又是B类元素的个数。A∪B∩C,A∪B∩C的意义类似。

  容斥原理1 如果被计数的事物有两类,那么A∪B=A+B-A∩B。

  容斥原理2 如果被计数的事物有三类,那么A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩B。
 
  容斥原理的实质在于包含与排除,或形象地称之为“多退少补”。容斥原理若用韦恩图进行分析和记忆,十分方便,留给读者研究。

  例1 在100名学生中,有10人既不会骑自行车又不会游泳,有65人会骑自行车,有73人会游泳,既会骑自行车又会游泳的有多少人?

  解:从100名总人数中减去既不会骑自行车又不会游泳的10人,就是会骑自行车或会游泳的人数100-10=90(人)。既会骑自行车又会游泳的有(65+73)-90=48(人)。

  例2 在1至100的自然数中,不能被2整除,又不能被3整除,还不能被5整除的数,占这100个自然数的百分之几?

  解:由容斥原理2知,1至100的自然数中,或能被2整除,或能被3整除,或能被5整除的自然数的个数是
    
  =50+33+20-16-6+3=74。

  所以,在1至100的自然数中,不能被2整除,又不能被3整除,还不能被5整除的自然数有100-74=26(个),占这100个自然数的26%。

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