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名校分班考 必备的5种解题思路

来源:互联网整理 2011-08-01 10:39:21

  记者统计梳理了今年近10所名校“小升初”的数学考题,学而思“小升初”奥数名师刘森至指出,解题过程中要使思维脉络清晰化,思维脉络的重点理清了,一切问题也就迎刃而解了,并归纳出5种解题思路。

  解题思路一:假设法

  典型题目:在老北京的一个胡同大杂院里,住着4户人家,巧合的是每家都有一对双胞胎女孩。这四对双胞胎中,姐姐分别是ABCD,妹妹分别是abcd。一天,一对外国游人夫妇来到这个大杂院里,看到她们8个,忍不住问:“你们谁和谁是一家的啊?”B说:“C的妹妹是d。”C说:“D的妹妹不是c。”A说:“B的妹妹不是a。”D说:“她们三个人中只有d的姐姐说的是事实。”如果D的话是真话,你能猜出谁和谁是双胞胎吗?

  专家解析:假设B说的是事实,则C就是d的姐姐,按D的依据就是C也为真,那么出现有两个人说的是事实,与题意矛盾,所以B说的不是事实,同时也知道C不是d的姐姐,则B、C的话都是假的,所以只有A说的是真话,则A就是d的姐姐,A说B的妹妹不是a,又不可能是d,所以B的妹妹只可能是b或c。根据C的假话知道D的妹妹就是c,B的妹妹就是b,最后C的妹妹就是a。

  解题思路二:计算法

  典型题目1:乌龟和兔子赛跑的原版,是由于兔子过于贪玩乌龟胜出了。现在有一总长4.2km的路程,兔子每小时跑20km,乌龟每小时跑3km。乌龟不停地跑。但兔子却边跑边玩,它先跑1分钟,然后玩15分钟。又跑2分钟,再玩15分钟……那么,先到终点的比后到终点的要快多少分钟?

  专家解析:根据它们的行驶速度可首先推断出各自所用时间:乌龟跑了4.2÷3×60=84分钟,兔子跑了4.2÷20×60=12.6分钟,兔子在跑完全程所用的时间为1+15+2+15+3+15+4+15+2.6=72.6分钟。

  所以兔子先到终点,并且快于乌龟84-72.6=11.4分钟。

  典型题目2:一个人在一个大户人家里做仆人。大户人家的主人给仆人一根3尺长,宽厚均为1尺的木料,让仆人把这块木料做成木柱。仆人就把这块木料放到秤上称了一下,知道这块木料重3kg,即将做成的木柱只重2kg。于是仆人从方木上砍去1立方尺的木材,但主人认为仆人这样做不合理。仆人该怎么向主人解释呢?

  专家解析:仆人可以做一个箱子,保证箱子内部的尺寸与最初的方木相同,然后将雕刻好的木柱放入箱子内,再向箱子里加入沙土,直至把箱子完全填实,并且使箱内沙土与箱口齐平。之后仆人可以轻轻将木柱取出,保证不带出沙粒,再把箱内的沙土捣平,量出剩余的深度为1尺,即木柱所占的空间为2立方尺。即证明仆人砍的没错。

  解题思路三:排除法

  典型题目1:张涛、李明和赵亮三人住在三个相邻的房间内,他们之间满足这样的条件:

  (1)每个人喜欢一种宠物,一种饮料,一种啤酒,不是兔就是猫,不是果粒橙就是葡萄汁,不是青岛就是哈尔滨;(2)张涛住在喝哈尔滨者的隔壁;(3)李明住在爱兔者的隔壁;(4)赵亮住在喝果粒橙者的隔壁;(5)没有一个喝青岛者喝果粒橙;(6)至少有一个爱猫者喜欢喝青岛啤酒;(7)至少有一个喝葡萄汁者住在一个爱兔者的隔壁;(8)任何两人的相同爱好不超过一种。

  问:住中间房间的人是谁?

  专家解析:根据条件1,每个人的三爱好组合必是下列组合之一:A。葡萄汁,兔,哈尔滨;B。葡萄汁,猫,青岛;C。果粒橙,兔,青岛;D。果粒橙,猫,哈尔滨;E。葡萄汁,兔,青岛;F。葡萄汁,猫,哈尔滨;G。果粒橙,兔,哈尔滨;H。果粒橙,猫,青岛。根据条件5,可以排除C和H。

  于是,根据条件6,B是某个人的三嗜好组合;根据条件8,E和F可以排除;再根据条件8,D和G不可能分别是某两人的三嗜好组合;因此A必定是某个人的三嗜好组合;然后根据条件8,可以排除G;于是余下来的D必定是某个人的三爱好组合。

  根据2、3和4,住房居中的人符合下列情况之一:喝青岛而又爱兔,2.喝青岛而又喝果粒橙,3.爱兔而又喝果粒橙。既然这三人的三爱好组合分别是A、B和D,那么住房居中者的三爱好组合必定是A或者D,那么三个人的房间排序如下所示:B、A、D或B、D、A。

  根据条件7,可排除D;因此,根据条件4,赵亮的住房居中。

  典型题目2:有10个人站成一队,每个人头上都戴着一顶帽子,帽子有3顶红的,4顶黑的,5顶白的。每个人不能看到自己的帽子,只能看到前面的人的,最后一个人能够看到前面9个人的帽子颜色,倒数第二个人能够看到前面8个人的帽子颜色,以此类推,第一个人什么也看不到。

  现在从最后面的那个人开始,问他是不是知道自己所戴帽子的颜色,如果他回答不知道,就继续问前面的人。如果后面的9个人都不知道,那么最前面的人知道自己颜色的帽子吗?为什么?

  专家解析:最后一个人不知道自己所戴帽子的颜色,那么他的帽子和剩下的两顶帽子属于两种以上的颜色,通过排除,知道他的帽子和剩下的两顶帽子分属于三种颜色,第九个人不能判断自己所戴帽子的颜色,也是如此,以此类推,第一个人就能知道自己帽子的颜色为白色。

  解题思路四:分析法

  典型题目:两个直径分别是2和4的圆环,如果小圆在大圆内部绕大圆转一周,那么小圆自身转了几周?如果在大圆的外部转,小圆自身又要转几周呢?

  专家解析:两圆的直径分别为2、4,那么半径分别为1、2。假如把大圆剪开并拉直,那么小圆绕大圆转一周,就变成从直线的一头移动到另一头。因为这条直线长就是大圆的周长,是小圆周长的2倍,所以小圆需要滚动2圈。

  但现在小圆在沿大圆滚动的同时,自身还要转动。小圆在沿着大圆滚动1周并回到原出发点的同时,小圆自身也转了1周。

  如果小圆在大圆的内部滚动,其自转的方向与滚动的转向相反,因此小圆自身转了1周;如果小圆在大圆的外部滚动,其自转的方向与滚动的转向相同,因此小圆自身转了3周。

  解题思路五:观察法

  典型题目:观察图形:○●○●●○●●●●○●●●●●●●●○……前200个珠子中有多少个黑色的?

  专家解析:看图形可知,白色珠子一次一个,黑珠子除第一个外,其余是按照2的n次方的规律排下去。第一块黑珠子有1个,第二块有2个,第三块有2*2=4个,第四块有2*2*2=8个,第五块有2*2*2*2=16个,第六块有2*2*2*2*2=32个,第七块有2*2*2*2*2*2=64个,第八块有2*2*2*2*2*2*2=128个。

  这样可推断出,前200个珠子中有8个白的,有192个是黑的。

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