小学六年级奥数试题容斥原理问题例一

    在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )

    A，5 B，6 C，7 D，8

    解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。

    分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

    由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①

    由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②

    由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③

    由（4）知：a1＝a2+a3……④

    再由②得a23＝a2－a3×2……⑤

    再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥

    然后将④⑤⑥代入①中，整理得到

    a2×4+a3＝26

    由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

    当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22

    又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3

    因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

    然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。

    故只解出第二题的学生人数a2＝6人。